Sabine Hossenfelder, nhà vật lý và là tác giả của cuốn “Lạc lối trong Toán học”, xoay quanh chủ đề các nhà vật lý lý thuyết thường dựa vào vẻ đẹp, đặc biệt là sự đơn giản và tự nhiên, khi họ phát triển các định luật mới mô tả tự nhiên. Những hướng dẫn này đã có ảnh hưởng mạnh mẽ đến nền tảng của vật lý, kể từ khi phát triển mô hình tiêu chuẩn của vật lý hạt, mô tả tất cả các hạt cơ bản đã biết, và giải thích cách chúng tương tác. Nhưng vẻ đẹp này, cũng có thể dẫn các nhà khoa học đến ngõ cụt.
Theo Sabine Hossenfelder:
Tôi biết đó không phải là một quan sát ban đầu quá khủng khiếp, nhưng điều này không kết thúc việc đếm, vì bạn luôn có thể thêm một và nhận được một số lớn hơn là đặc tính quan trọng của vô hạn. Vô cực là cái không bị ràng buộc, Nó lớn hơn bất kỳ con số nào bạn có thể nghĩ đến. Bạn có thể nói, nó lớn không thể tưởng tượng được.
Vô cực không hoàn toàn đơn giản, vì nghe có vẻ kỳ lạ, có nhiều loại vô cực khác nhau. Số lượng các số tự nhiên như 1,2,3… chỉ là loại vô cùng đơn giản nhất, được gọi là “vô cực đếm được”. Và các số tự nhiên theo một cách rất cụ thể cũng vô hạn như các bộ số khác, bởi vì bạn có thể đếm các bộ khác này, bằng cách sử dụng các số tự nhiên.
Về mặt hình thức, điều này có nghĩa, là một tập hợp các số cũng vô hạn tương tự như các số tự nhiên, nếu bạn có một ánh xạ một-một, từ các số tự nhiên đến tập hợp khác đó. Nếu có một ánh xạ như vậy thì hai tập hợp đó có cùng kiểu vô cực.
Ví dụ: nếu bạn thêm số 0 vào các số tự nhiên, do đó bạn nhận được tập hợp 0, 1, 2, 3, v.v., thì bạn có thể ánh xạ các số tự nhiên thành số này bằng cách trừ một ( – 1), từ mỗi số tự nhiên. Cũng như vậy với tập hợp các số tự nhiên, và tập hợp các số tự nhiên cộng với số 0, là cùng loại vô cực.
Điều này cũng giống như vậy, đối với tập hợp tất cả các số nguyên Z, bằng 0, ± 1, ± 2, v.v. Bạn có thể gán duy nhất một số tự nhiên cho mỗi số nguyên, vì vậy các số nguyên cũng là vô hạn.
Số hữu tỉ, tức là tập hợp tất cả các phân số của số nguyên, cũng có thể đếm được vô hạn. Tuy nhiên, số thực chứa tất cả các số có vô hạn chữ số sau dấu chấm (.), tuy nhiên, không đếm được là vô hạn. Bạn có thể nói nó thậm chí còn vô hạn hơn các số tự nhiên. Thực tế có vô số loại vô hạn, nhưng hai loại này, tương ứng với số tự nhiên và số thực, là hai loại được sử dụng phổ biến nhất.
Hiện nay, có nhiều loại vô hạn khác nhau là điều thú vị, nhưng phù hợp hơn để sử dụng vô cực trong thực tế, là hầu hết các số vô hạn thực sự giống nhau. Do đó, nếu bạn thêm một vào vô cùng, kết quả vẫn là vô cùng. Và nếu bạn nhân vô cực với 2, bạn sẽ lại nhận được cùng vô cực. Nếu bạn chia 1 cho vô hạn, bạn sẽ nhận được một số có giá trị tuyệt đối, nhỏ hơn bất kỳ giá trị nào, vì vậy số đó bằng 0. Nhưng bạn sẽ nhận được điều tương tự nếu bạn chia 2 hoặc 15 hoặc căn bậc hai của 8 cho vô hạn. Kết quả luôn là số 0.
Tôi hy vọng không có nhà toán học nào theo dõi điều này bởi vì về mặt kỹ thuật, người ta không nên viết các quan hệ này dưới dạng phương trình. Thực sự, chúng là những tuyên bố về loại vô cực. Chẳng hạn trường hợp đầu tiên chỉ có nghĩa là, nếu bạn thêm 1 vào vô cùng, thì kết quả là cùng một loại vô cùng.
Vấn đề khi viết các quan hệ này dưới dạng phương trình là nó có thể dễ dàng sai. Ví dụ, bạn có thể thử trừ vô cùng trên cả hai vế của phương trình này, cho bạn những điều vô nghĩa, giống như 1 bằng 0. Tại sao vậy?
Đó là bởi vì bạn đã quên rằng vô cực ở đây thực sự chỉ cho bạn biết loại vô cực. Nó không phải là một con số. Nếu điều duy nhất bạn biết về 2 số vô hạn là chúng cùng loại, thì sự khác biệt giữa chúng có thể là bất cứ điều gì.
Còn tệ hơn, nếu bạn làm những việc như chia vô cực cho vô cực hoặc nhân vô cực với 0. Trong trường hợp này, kết quả không chỉ có thể là bất kỳ số nào, mà còn có thể là bất kỳ loại vô hạn nào.
Toàn bộ câu chuyện vô cực này chắc chắn trông giống như một mớ hỗn độn, nhưng các nhà toán học thực sự biết rất rõ cách đối phó với vô cực. Bạn chỉ cần phải cẩn thận để theo dõi xem vô cực của bạn đến từ đâu.
Ví dụ: giả sử bạn có một hàm như x bình phương đi đến vô cùng khi x đi đến vô cùng. Bạn chia nó cho một hàm số mũ nó cũng đi đến vô cùng với x. Vì vậy, bạn đang chia vô cùng cho vô cùng. Điều này nghe có vẻ xoắn não quá đúng không?
Quảng cáo