1 CHƯƠNG 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
1 Ma trận
1.1 Định nghĩa.
Ma trận A cấp m n trên R là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột được
biểu diễn như sau:
11 12 1
21 22 2
1 2
…
…
…
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
= a ij m n , i 1, , m j 1, n
Trong đó:
aij R : là phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận A.
m : số dòng của ma trận A.
n : số cột của ma trận A.
ai 1 ai 2 … ain : dòng thứ i của ma trận A.
1
2
…
j
j
mj
a
a
a
: cột thứ j của ma trận A.
Ký hiệu Mm n ( ) R là tập hợp các ma trận cấp m n trên R.
Ví dụ. Xét ma trận 102
1 2 0
B
. Ma trận B là ma trận cấp 2 3.
1.1 Các dạng đặc biệt của ma trận.
- Ma trận dòng
Ma trận dòng là ma trận có một dòng và n cột, ký hiệu là A = a 1 a 2 … an
####### Ví dụ. A 2 8 3
- Ma trận cột
Ma trận cột là ma trận có m dòng và một cột, ký hiệu là :
1
2
m
a
A a
a
Ví dụ.
1
2
4
0
A
- Ma trận không:
Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu 0 0 m n
Ví dụ. 3 2
0 0
0 0 0 0 ; 0 0 0
0 0
0 0
- Ma trận vuông cấp n:
Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng n, ký hiệu là
11 12 1
21222 ij
1 2
…
…
…
n
n
n
n n nn
a a a
A a a a a
a a a
Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu : A M R n ( ).
Đường thẳng đi qua các phần tử a a 11 , 22 , a 33 ,…, ann được gọi là đường chéo chính của
ma trận A. Đường thẳng đi qua các phần tử a a 1 n , 2( n 1), a 3( n 2),…, an 1 được gọi là đường
chéo phụ của ma trận A.
Ví dụ.
Ma trận
1 1 4
1 2 0
4 0 3
A
là một ma trận vuông. Đường thẳng đi qua các phần tử 1,2,-3 là
đường chéo chính.
- Ma trận tam giác
Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính
đều bằng 0.
Ví dụ.
1 2 3
0 2 4
0 0 1
A
Hai ma trận cùng cấp A M n m ( ) R và B Mn m ( ) R gọi là bằng nhau nếu các phần tử tương
ứng của chúng bằng nhau, tức là: A B aij bij ( , ) i j.
Ví dụ. Cho 12 , 1 2
A a a b B 2 1
. Tìm a b , sao cho A B
Theo định nghĩa trên giải được a 2, b 1.
- Phép nhân một số với ma trận.
Cho c 0 và ma trận A a ij m n Mm n ( ) R. Khi đó : cA ( caij m n )
Ví dụ. Cho 1 2 3
A 2 1 0
. Khi đó
1 2 3 2 4 6
2 A 2 2 1 0 4 2 0
.
1 2 3
A 2 1 0
và
3 3 6 9
A 6 3 0
- Phép cộng hai ma trận.
Cho A a ij m n và B b ij m n . Tổng của A và B là ma trận C c ij m n được xác định như
sau:
cij aij bij , i 1, , m j 1, n
Ví dụ. Với 1 2 3
2 3 1
A
và 1 1 1
0 1 0
B
, 1 3 1
0 4 0
C
. Khi đó
0 3 4 2 3 2
A B 2 4 1 ; A B 2 C 2 4 1
Nhận xét. Phép cộng hai ma trận chỉ thực hiện được khi hai ma trận đó cùng cấp.
- Phép nhân một dòng với một cột
Cho A M 1 n ( ) R và B M n 1 ( ) R
A a 1 a 2 … an ;
1
2
n
b
B b
b
Khi đó AB gọi là tích (vô hướng) của một dòng với một cột:
AB a b 1 1 a b 2 2 … a bn n
Ví dụ. A 1 2 0 7 và
3
2
6
2
B
thì : AB (–1).3 + 2.(–2) + 0 + 7 7.
- Phép nhân hai ma trận
Cho A Mm k ( ) R và B Mk n ( ) R. Gọi A 1 , A 2 , …, Am là m dòng của A; B (1), B (2), …, B ( ) n là
n cột của B.
Ta viết:
1
2
m
A
A A
A
và B B (1) B (2) … B ( ) n
Với Ai ai 1 ai 2 … aik và
1
( ) 2
j
j j
kj
b
b
B
b
.
Khi đó C = AB gọi là ma trận tích của A với B và phần tử cij của C được xác định như
sau
cij A Bi ( ) j a bi 1 1 j a bi 2 2 j … a bik kj
Nhận xét
Phép nhân hai ma trận AB chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận A là số dòng của ma
trận B. Với A M m k ( ) R và B M k n ( ) R thì C Mm n ( ) R
Nói chung AB BA. Trường hợp AB BA thì ta nói A và B là hai ma trận giao hoán.
Ví dụ. Cho 1 0
1 1
A
và 1 2
0 1
B
. Khi đó 1 2 3 2
1 3 1 1
AB BA
.
Ví dụ. Cho
1 2
3 0
2 4
A
, B 1 2 1 0 32 3 4
.
Ta có: A 1 1 2 , A 2 3 0 , A 3 2 4 và
(1) 1 , (2) 2 , (3) 3 , (4) 4
2 1 0 3
B B B B
. Khi đó ma trận AB xác định bởi :
Loại 1 : Đổi chỗ hai dòng cho nhau, ký hiệu :
A di dj A ‘
Loại 2 : Biến dòng i thành c lần dòng i ( c 0), ký hiệu :
A di cdi A ‘
Loại 3 : Biến dòng i thành dòng i cộng c lần dòng j ( c 0, i j ), ký hiệu :
A di dicdj A ‘
Ví dụ. Cho ma trận
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
. Ta có
2 22
1 2 3 1 2 3
4 5 6 ‘ 8 10 12
7 8 9 7 8 9
A d d A
2 221
1 2 3 1 2 3
4 5 6 ‘ 6 9 12
7 8 9 7 8 9
A d d d A
2 1
1 2 3 4 5 6
4 5 6 ‘ 1 2 3
7 8 9 7 8 9
A d d A
1.1 Ma trận bậc thang
- Ma trận khác không A M m n ( ), ( , R m n 2)được gọi là ma trận bậc thang dòng, nếu có
một số nguyên r (0 r min m n , ), và một dãy các chỉ số cột 1 j j 1 , ,…, 2 jr n , sao
cho :
i a ) ij 0 nếu r i m hoặc 1
1 i
i r
j j
ii a a ) 1 j 1 2 j 2 … arjr 0
Các phần tử a 1 j 1 , a 2 j 2 ,… arjr gọi là các phần tử được đánh dấu của A. Nếu ngoài i ) và ii )
còn có thêm:
iii a ) 1 j 1 a 2 j 2 … arjr 1
iv a ) kji 0,1 k i r
thì A được gọi là ma trận bậc thang dòng rút gọn.
Ví dụ. Các ma trận sau đây là ma trận bậc thang:
1 2 3 1 2 3 4
0 5 6 ; 0 1 4 5
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1
A B
- Ma trận khác không B M m n ( ), ( , R m n 2)được gọi là ma trận bậc thang cột (bậc
thang cột rút gọn) nếu chuyển vị Bt của B là một ma trận bậc thang dòng (bậc thang dòng
rút gọn).
1.1 Hạng của ma trận
Cho A M m n ( ) R và B là ma trận bậc thang nhận được từ A bằng một số hữu hạn
các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó số dòng (số cột) khác không của B được gọi là hạng của
A, kí hiệu là rank(A) hoặc r(A).
Ví dụ .Tìm hạng của ma trận
1 2 3
4 5 6
3 3 9
A
.
Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang:
2 2 1 3 3 2
3 3 1
4 3 ‘
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 0 3 6 0 3 6
3 3 9 0 9 18 0 0 0
d d d d d d
A d d d A
Ma trận bậc thang A’ có hai dòng khác 0 nên rank A ( ) 2
Nhận xét.
Ma trận bậc thang có các đặc điểm sau:
- Phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên nằm về bên trái so với phần tử khác 0 đầu tiên của
dòng dưới.
- Dòng bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới so với dòng khác 0.
Ta có thể dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa một ma trận bất kỳ về dạng bậc thang.
Ví dụ. Hãy đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng và bậc thang dòng rút gọn
1 2 3 4
2 4 1 10
3 6 1 15
A
Dùng phép biến đổi dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng như sau:
Cho A a ij n M Rn ( ). Định thức cấp n của ma trận A được định nghĩa là:
11 12 1
21 22 2
1
1 2
…
det …
…
n
n n
j pj pj
n n nn
a a a
A a a a a A
a a a
(khai triển theo dòng p) hoặc
1
det
n
A i a Aiq iq (khai triển theo cột q).
Ví dụ. Cho
1 1 2 2
1 2 1 2
2 1 2 1
2 2 2 1
A
. Tính det A.
Ta khai triển theo dòng 1 ta có :
11 1 1
2 1 2
( 1) 1 2 1 3
2 2 1
A ; 12 1 2
1 1 2
( 1) 2 2 1 0
2 2 1
A ;
13 1 3
1 2 2
( 1) 2 1 1 3
2 2 1
A ; 14 1 4
1 2 1
( 1) 2 1 2 0
2 2 2
A
Do đó
4
det A j 1 a A 1 j 1 j 1.( 3) 1 2 2 3
1.2 Các tính chất của định thức
Dựa vào định nghĩa của định thức ta suy ra được các tính chất sau:
- Nếu đổi dòng thành cột, cột thành dòng thì định thức không thay đổi , tức là
det A det At
- Nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu, tức là:
A di dj A ‘ det( ) A det( ‘) A
- Từ một dòng (một cột) ta cộng vào một dòng khác (cột khác) sau khi nhân một số c 0
thì định thức không đổi
A di dicdj A ‘ khi đó det( ‘) A det( ) A.
- Ta có thể đưa thừa số chung c 0 ra ngoài định thức, tức là:
A di cdi A ‘ khi đó det( ‘) A c det( ) A.
- Cho A M R n ( ), nếu mỗi phần tử trên dòng (cột) của A là tổng của hai phần tử thì định
thức của A tách ra được thành tổng của hai định thức.
Ví dụ. a a c ‘ b b d ‘ a bc d ac ‘ bd ‘ hoặc a ac c ” bd ac bd ac ” db
- Cho A B , M Rn ( ) khi đó det AB det det A B.
Nhận xét.
- Dựa vào các tính chất trên, ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để tính định
thức cấp n.
Ví dụ. Cho
1 2 5
1 1 2
1 2 1
A
. Khi đó :
1 2 5 23231112513
det( ) 1 1 2 0 1 3 1 4 6 6
1 2 1 0 4 6
hh hh hh
A
2) Cho A a ij m n . Hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác 0.
3) Cho A a ij n là ma trận vuông cấp n. Khi đó rank A ( ) n det A 0
Ví dụ. Cho ma trận
1 2 3
4 5 6
3 3
A
m
. Tìm hạng của ma trận A theo m.
Ta có det A m 9. Nếu m 9 thì rank A ( ) 2 ; nếu m 9 thì rank A ( ) 3.
1 Ma trận nghịch đảo
1.3 Định nghĩa
Cho ma trận A M Rn ( ). Ta nói ma trận A khả nghịch nếu B M Rn ( ) thoả mãn:
BA AB In
Ta nói B (tồn tại duy nhất) là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu B A 1
1.3 Định lí
Cho A M R n ( ). Khi đó A khả nghịch nếu và chỉ nếu det A 0
1.3 Tính chất
Nếu A B , M Rn ( ) là hai ma trận khả nghịch thì :
dd 11 dd 1132 dd 23
3 1
1 0 0 6 3 2
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1
I A
.
Vậy 1
6 3 2
1 1 0
1 0 1
A
1.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức
Ta gọi ma trận phụ hợp PA của ma trận A là ma trận được xác định như sau:
PA ij Aji ; i j , 1, n
Để tìm A 1 ta thực hiện hai bước
Bước 1. Tính D det A
Nếu det A 0 thì A không khả nghịch
Nếu det A 0 thì A khả nghịch, chuyển sang bước 2.
Bước 2. Lập ma trận phụ hợp PA. Khi đó: A 11 PA
D
.
Ví dụ. Dùng phương pháp định thức tìm A 1 của
1 3 2
1 4 2
1 3 3
A
Ta có: D det A 1
1 3
2 1
11 1 1 12 1 2 13
21 22 2 2 23 2 3
31 3 1 32 3 2 33 3 3
4 2 1 2 1 4
( 1) 3 3 6; ( 1) 1 3 1; ( 1) 1 3 1;
( 1) 3 2 3; ( 1) 1 2 1; ( 1) 1 3 0;
3 3 1 3 1 3
( 1) 3 2 2; ( 1) 1 2 0; ( 1) 1 3 1
4 2 1 2 1 4
A A A
A A A
A A A
Khi đó: 1
6 3 2
1110
1 0 1
A DPA
.
Trong chương này chúng ta đã làm quen một đối tượng mới là ma trận, và các vấn đề
xoay quanh ma trận. Trong Toán học có những vấn đề dẫn đến việc giải hệ phương trình,
và để giải hệ phương trình đó đã nảy sinh ra khái niệm mới là ma trận. Để thấy rõ điều đó
ta sẽ nghiên cứu chương tiếp theo là Hệ phương trình tuyến tính.
BÀI TẬP CHƯƠNG I
1 Thực hiện các phép toán trên ma trận
4
1 1 3 2 221
) 1 2 3 4 ) 4 2 3
0510 2 0 1
5
1 2 4 2 1 2 0
) 3 1 3 2 3 1 ) 3 4 1 4 1 2
4 3
a b
c d
e) Cho
2 2 1 2 1
1 1 2 , 4 2 3 , 7 2
5 1 3
2 0 1 1 6
A B C
.
Tính 3A+2B , AB,AB-BA, BC, ABC, BA-3C+IT 3
f) Cho ( ) 2 2 3 1, ( ) 223 , 1 2
2 5
f x x x g x x x A
x
. Tính f A g A ( ), ( ).
g) Cho 1 , 2 1 , 1.
0 1 1 3 0
A a B C a
a
Tính
A Bn , 10 , C 2011
1 Cho
1 0 3 2 2 1
2 1 1 , 4 2 3
3 2 2 2 0 1
A B
. Tìm ma trận nghịch đảo A 1 , B 1 (nếu có)
bằng 2 phương pháp đã học.
1 Tính các định thức sau:
2 3 231 1 0 3 221
)1 2 ) 0 2 2 ) 2 1 1 , ) 4 2 3
1 3 3 2 2 2 0 1
1 2 3 4 0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1
) 2 3 4 1 ) 0 )
3 4 1 2 0 1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
4 1 2 3 0 1 1 1 1 0
a b c d B
m
a b c
e f a c b g
b b a
c c a
1 Giải các phương trình sau:
1
2
m
b
B b
b
: cột hệ số tự do,
1
2
n
x
X x
x
: cột ẩn số.
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
…
…
…
n
n
m m mn m
a a a b
A B a a a b
a a a b
gọi là ma trận bổ sung (mở rộng) của hệ (3).
Với cách đặt như trên hệ (3) được viết lại : AX B
Khi B=0 hệ (3) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Ngược lại ta gọi là hệ
không thuần nhất.
2.1 Nghiệm của hệ phương trình
Nghiệm của hệ (3) là bộ số
1
2
n
c
c
C
c
sao cho AC B. Quá trình đi tìm tập
nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gọi là giải hệ phương trình tuyến tính.
Hai hệ phương trình tuyến tính có cùng số ẩn (số phương trình có thể khác nhau) gọi là
tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.
Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 1
4 2 2
3 3 3
x x x
x x x
x x x
(1)
Ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính là:
1 3 2
1 4 2
1 3 3
A
Ma trận nghịch đảo của A (đã có được từ ví dụ trước) là
1
6 3 2
1 1 0
1 0 1
A
Hệ 1
6 3 2 1 6
(1) 1 1 0 2 1
1 0 1 3 2
AX B X A B
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
1
2
3
6
1
2
x
x
x
.
Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
3 4 3 3
2 2 3
x x x
x x x
x x x m
Hệ phương trình tương đương A Xt C X At 1 C
1
6 1 1 1 3
3 1 0 3 0
2 0 1 2
t
m
X A C
m m
2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
2.2 Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính (3) được gọi là hệ Cramer nếu m n và det A 0
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
…
…
…
…
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(3)
Đặt D det( ) A và Dj ( j 1, ) n là định thức có được bằng cách thay cột j của D bởi cột tự
do. Khi đó hệ phương trình Cramer có nghiệm duy nhất xác định theo công thức:
x 1 D 1 , x 2 D 2 , …, xn Dn
D D D
.
Ví dụ. Giải hệ phương trình :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 6 0
3 4 2 0
x x x
x x x
x x x
.
Ta có :
1 1 1
2 6 1
3 4 2
A
, D det( ) 11 0 A ,
1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 3 7 1 0 0 40
2 5 1 6 0 1 1 4 0 1 1 4 0 1 0 15
1 4 2 2 0 2 3 3 0 0 1 11 0 0 1 11
Hệ có nghiệm duy nhất là : x 1 40, x 2 15, x 3 11
Ví dụ. Giải hệ phương trình :
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 1
3 5 3 1
4 3 8 4 0
x x x x
x x x x
x x x x
.
Ta có
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
3 1 5 3 1 0 7 4 0 4
4 3 8 4 0 0 0 0 0 2
A B
.
Suy ra : r A B ( ) 3. Mà r A ( ) 2 r A B ( ). Vậy hệ vô nghiệm.
Ví dụ. Giải hệ phương trình :
1 2 3
1 2 3
1
2 3 2
x x x
x x x
.
Ta có :
1 1 1 1 1 1 1 1
A B 2 1 3 2 0 1 5 0
1 0 4 1
0 1 5 0
.
Suy ra : r A ( ) r A B ( ) 2 n 3 , vậy hệ có vô số nghiệm.
Ta viết hệ thành
1 3 1 3
2 3 2 3
4 1 1 4
5 0 5
x x x x
x x x x
.
Vậy tập nghiệm của hệ có dạng
1
2
3
1 4
5 ( )
x t
x t t R
x t
.
Như vậy việc giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Crammer đòi hỏi hệ
phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn bằng nhau, ma trận hệ số phải là ma
trận khả nghịch trong khi đó phương pháp Gauss lại cho phép ta giải một hệ bất kỳ. Thực
chất phương pháp Gauss là phương pháp cộng mà trước đây ta đã học nhưng trong qúa
trình giải chỉ có hệ số thay đổi chứ các ẩn số vẫn giữ nguyên nên ta quan tâm đến những hệ
số và được viết thành ma trận.
BÀI TẬP CHƯƠNG II
2 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 3 1 2 3
2 3 2 2 1
) 1 ) 3 2 6 5
2 7 3
2 3 2 1
2214322
) 3 2 1 ) 16 9 3 3
2504774
x x x x x x
a x x x b x x x
x x x x x
x y z t
x y z t x y z t
c x y z t c x y z t
x y z t x y t z
2 Cho ma trận
1 0 1
1 1 1
1 2 2
A
. Tìm A 1 , rồi giải các hệ phương trình sau:
1 1 1
) 2 ) 2 1 ) 2
2 2 5 2 2 2 2 5
x z x y z x z
a x y z b y z m c x y z
x y z x y z x y z
2 Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau:
3 1 2 3 1 3 3
) 2 2 ) 1 ) 2 6 2
3 4 3 2 2 2 2 2 1
x y z x y z x y z
a x y mz b x y z m c x y z m
x my z x y z x y z m
2 Trong một ngày, khẩu phần ăn của mỗi người cần có 80g Protit, 50g Lipit, 450g
Gluxit. Hàm lượng các chất trên có trong 1g thức ăn A và B như sau:
Chất dinh dưỡng Thức ăn
A B
Protit (g) 0,1 0,
Lipit (g) 0,2 0,
Gluxit (g) 0,6 0,
Hãy lập phương trình ma trận cho bài toán trên. Hãy cho biết các ẩn số trong phương trình
ma trận trên cho biết điều gì?