Vô cực có thật không? Hay đó chỉ là những điều sáo rỗng trong toán học mà bạn nhận được khi chia cho số 0? Nếu vô cực không thực tế, điều này có nghĩa là số 0 cũng không thực tế? Và vô cực xuất hiện trong vật lý có nghĩa là gì?
Lược dịch bài viết của Sabine Hossenfelder, nhà vật lý lý thuyết dân Đức nghiên cứu về lực hấp dẫn lượng tử, trả lời vấn đề này.
Vô cực là cái tự do.
Vô cực là cái tự do.
Hầu hết chúng ta vấp phải sự vô hạn (hay vô cực) lần đầu tiên khi chúng ta học đếm, và nhận ra rằng có thể tiếp tục đếm mãi mãi. Tôi biết đó bất công là một quan sát ban đầu quá khủng khiếp, nhưng điều này không kết thúc việc đếm vì bạn luôn có thể thêm một và nhận được một số lớn hơn là đặc tầm quan trọng của vô hạn. Vô cực là cái tự do. Nó lớn hơn bất kỳ chữ số nào bạn có thể nghĩ tới. Bạn có thể nói nó lớn không thể nghĩ ra được.
Vô cực không hoàn toàn đơn giản vì, nghe tỏ vẻ không điển hình, có nhiều loại vô cực khác nhau. Số lượng các số tự nhiên, 1,2,3… chỉ là loại vô cùng đơn giản nhất, được gọi là “vô cực đếm được”. Và các số tự nhiên theo một cách rất độc đáo cũng vô hạn như các bộ số khác, bởi vì bạn có thể đếm các bộ khác này bằng cách áp dụng các số tự nhiên.
Về mặt mô hình, điều này có nghĩa là một tập hợp các số cũng vô hạn tương tự như các số tự nhiên, nếu bạn có một ánh xạ một-một từ các số tự nhiên đến tập hợp khác đó. Nếu có một ánh xạ như vậy thì hai tập hợp đó có cùng kiểu vô cực.
Ví dụ: nếu bạn thêm số 0 vào các số tự nhiên – do đó bạn nhận được tập hợp 0, 1, 2, 3, v.v. – thì bạn có thể ánh xạ các số tự nhiên thành số này bằng cách trừ một ( – 1) từ mỗi số tự nhiên. Cũng như vậy với tập hợp các số tự nhiên và tập hợp các số tự nhiên cộng với số 0 là tương tự vô cực.
Điều này cũng giống như vậy đối với tập hợp tất cả các số nguyên Z, bằng 0, ± 1, ± 2, v.v. Bạn có thể gán duy nhất một số tự nhiên cho mỗi số nguyên, vì vậy các số nguyên cũng là vô hạn.
Số hữu tỉ, tức là tập hợp tất cả các phân số của số nguyên, cũng có thể đếm được vô hạn. Tuy nhiên, số thực chứa tất cả các số có vô hạn chữ số sau dấu chấm (.), tuy nhiên, không đếm được là vô hạn. Bạn có thể nói nó thậm chí còn vô hạn hơn các số tự nhiên. Thực tế có rất nhiều loại vô hạn, nhưng hai loại này, tương ứng với số tự nhiên và số thực, là hai loại được hưởng phổ biến nhất.
Hiện nay, có nhiều loại vô hạn khác nhau là điều vui sướng, nhưng phù hợp hơn để áp dụng vô cực trong thực tế là đa số các số vô hạn thực sự giống nhau. Do đó, nếu bạn thêm một vào vô cùng, kết quả vẫn là vô cùng. Và nếu bạn nhân vô cực với 2, bạn sẽ lại nhận được cùng vô cực. Nếu bạn chia 1 cho vô hạn, bạn sẽ nhận được một số có mô đun thứ yếu bất kỳ giá trị nào, vì vậy số đó bằng 0. Nhưng bạn sẽ nhận được điều tương tự nếu bạn chia 2 hoặc 15 hoặc căn bậc hai của 8 cho vô hạn. Kết quả luôn là số 0.
Sabine Hossenfelder, nhà vật lý và là tác giả của cuốn “Lạc lối trong Toán học”, xoay quanh chủ đề các nhà vật lý lý thuyết thường dựa vào vẻ đẹp – đặc biệt là sự đơn giản và tự nhiên – khi họ tiến lên các nguyên tắc mới mô tả tự nhiên. Những hướng dẫn này đã có ảnh hưởng mạnh mẽ đến nền tảng của vật lý kể từ khi tiến lên mô hình tiêu chuẩn của vật lý hạt, mô tả tất cả các hạt cơ bản đã biết và biện minh cách chúng tương tác. Nhưng vẻ đẹp này cũng có thể dẫn các nhà bác học đến ngõ cụt.
Tôi hy vọng không có nhà toán học nào theo dõi điều này, bởi vì về mặt kỹ thuật, người ta không nên viết các quan hệ này dưới dạng phương trình. Thực sự chúng là những tuyên bố về loại vô cực. Chẳng hạn trường hợp đầu tiên chỉ có nghĩa là nếu bạn thêm 1vào vô cùng, thì kết quả là giống nhau loại vô cùng.
Vấn đề khi viết các quan hệ này dưới dạng phương trình là nó có thể dễ thực hiện sai. Ví dụ, bạn có thể thử trừ vô cùng trên cả hai vế của phương trình này, cho bạn những điều sáo rỗng giống như 1 bằng 0. Tại sao vậy? Đó là bởi vì bạn đã quên rằng vô cực ở đây thực sự chỉ cho bạn biết loại vô cực. Nó bất công là một chữ số. Nếu điều duy nhất bạn biết về 2 số vô hạn là chúng tương tự, thì sự khác biệt giữa chúng có tính bất cứ điều gì.
Còn tệ hơn nếu bạn làm những việc như chia vô cực cho vô cực hoặc nhân vô cực với 0. Trong trường hợp này, kết quả không chỉ có tính bất kỳ số nào mà còn lại thể là bất kỳ loại vô hạn nào.
Toàn bộ câu chuyện vô cực này chắc chắn nom giống với một mớ bòng bong, nhưng các nhà toán học thực sự biết rất rõ cách đối phó với vô cực. Bạn chỉ yêu cầu cẩn thận để theo dõi xem vô cực của bạn đến từ đâu.
Ví dụ: giả sử bạn có một hàm như x bình phương đi đến vô cùng khi x đi đến vô cùng. Bạn chia nó cho một hàm luỹ thừa, nó cũng đi đến vô cùng với x. Vì vậy, bạn đang chia vô cùng cho vô cùng. Điều này nghe tỏ vẻ xoắn não quá đúng không?
Nhưng trong trường hợp này, bạn có khả năng đến vô cùng thế nào và do đó bạn có thể tính toán kết quả một cách rõ ràng. Trong trường hợp này, kết quả là 0. Cách dễ nhất để xem điều này là vẽ sơ đồ phân số dưới dạng một hàm của x.
Nếu bạn biết số vô hạn của mình đến từ đâu, bạn cũng có thể trừ một vô cực này với vô cực khác. Thật vậy, các nhà vật lý làm điều này mọi lúc trong lý thuyết trường lượng tử. Ví dụ, bạn có thể có các thuật ngữ như 1 / epsilon, 1 / epsilon vuông và logarit của epsilon. Mỗi thuật ngữ này sẽ cung cấp cho bạn vô hạn với epsilon bằng 0. Nhưng nếu bạn biết rằng hai số hạng có cùng vô cực, vì vậy chúng là giống nhau hàm của epsilon, thì bạn có thể cộng hoặc trừ chúng như các chữ số. Trong vật lý, bình thường mục tiêu của công việc này là để làm chứng cớ rằng khi kết thúc một phép tính, chúng đều triệt tiêu lẫn nhau và mọi thứ đều có quan niệma.
Vì vậy, về mặt toán học, vô cực rất thú vị. Đối với những gì liên quan đến toán học, chúng ta biết làm thế nào để tháo gỡ vấn đề vô hạn.
Nhưng liệu vô cực có thật không? Nó có tồn tại không?
Câu trả lời là có, nó được cho là tồn tại theo nghĩa toán học, theo nghĩa là bạn có thể phân tích các đặc tính của nó và nói về nó như chúng ta vừa làm. Nhưng theo nghĩa khoa học, vô cực không tồn tại.
Đó là bởi vì về mặt khoa học, chúng ta chỉ có thể nói rằng một yếu tố của lý thuyết tự nhiên “tồn tại” nếu nó là thiết thực để mô tả các quan sát. Và vì chúng ta không thể đo lường vô hạn, chúng ta không thực sự cần nó để mô tả những gì chúng ta quan sát. Trong khoa học, chúng ta luôn có thể thay thế cho vô cực bằng một số rất lớn nhưng hữu hạn. Chúng ta không làm điều này. Nhưng chúng ta có thể.
Đây là một ví dụ minh chứng cách mà các số vô hạn trong toán học không thể đo dễ học trong thực tế. Giả sử bạn có một con trỏ laser và bạn xoay nó từ trái sang phải và điều đó khiến cho một chấm đỏ di chuyển trên tường ở một khoảng cách xa. Tốc độ mà chấm di chuyển trên tường là bao nhiêu?
Điều đó trông cậy vào nhịp độ bạn di chuyển con trỏ laser và khoảng cách của thành trì. Càng xa thành trì, dấu chấm di chuyển càng nhanh theo cú xoay. Thật vậy, cuối cùng nó sẽ di chuyển mau lẹ hơn công luận. Điều này nghe tỏ vẻ khó hiểu, nhưng sự lưu ý rằng dấu chấm không thực sự là một thứ di chuyển. Nó chỉ là một hình ảnh tạo ra ảo giác về một đồ vật đang di chuyển. Những gì thực sự đang di chuyển là công luận từ con trỏ đến tường và nó di chuyển chỉ với nhịp độ công luận.
Tuy nhiên, bạn chắc chắn có thể quan sát di chuyển của dấu chấm không? Vì vậy, chúng ta có thể hỏi rằng, chấm tròn có thể di chuyển mau lẹ vô hạn, và do đó chúng ta có thể quan sát một thứ gì đó vô hạn không?
Có vẻ như để dấu chấm di chuyển mau lẹ vô hạn, bạn phải đặt thành trì ở xa vô cùng, điều mà bạn không thể có được. Đợi đã, thay vào đó, bạn có thể nghiêng tường một góc. Bạn càng nghiêng nó, chấm di chuyển trên bề mặt tường càng nhanh khi bạn xoay con trỏ laser. Thật vậy, nếu thành trì song song với hướng của chùm tia laser, tỏ vẻ như chấm sẽ di chuyển mau lẹ vô hạn trên thành trì. Về mặt toán học, điều này xảy ra vì giá trị của hàm tiếp tuyến tại pi/2 là vô cùng. Nhưng điều này có xảy ra trong thực tế?
Trong thực tế, thành trì sẽ không bao giờ phẳng hoàn toàn, vì vậy luôn có một tỉ số sẽ nhô ra và điều đó sẽ làm mờ dấu chấm. Ngoài ra, bạn không thể thực sự đo dấu chấm ở giống nhau thời điểm trên cả hai đầu thành trì vì bạn không thể đo thời gian một cách chính xác một cách tùy ý. Trong thực tế, điều tốt nhất bạn có tínhm là ra dấu rằng dấu chấm di chuyển mau lẹ hơn một giá trị hữu hạn nào đó.
Kết luận này không độc đáo đối với ví dụ với con trỏ laser. Bất cứ khi nào bạn cố gắng đo lường thứ gì đó vô hạn, điều tốt nhất bạn có tínhm trong thực tế là nói rằng nó lớn hơn thứ gì đó hữu hạn mà bạn đã đo lường. Và không có thử nghiệm nào có thể cho thấy điều đó. Vì vậy, vô cực là không thực tế theo nghĩa khoa học.
Tuy nhiên, các nhà vật lý luôn áp dụng vô cực. Lấy ví dụ về độ lớn của vũ trụ. Trong đa số các mô hình đương đại, vũ trụ rộng lớn vô hạn. Nhưng đây là một tuyên bố về tính chất toán học của các mô hình này. Phần vũ trụ mà chúng ta thực sự có thể quan sát chỉ đo được hữu hạn.
Và vấn đề vô cực không đo dễ học quan hệ thân mật đến vấn đề bằng 0. Lấy ví dụ về sự không thực toán học của một điểm. Các nhà vật lý áp dụng điều này mọi lúc khi họ xử lý các hạt điểm. Một điểm đo được bằng không. Nhưng bạn sẽ phải đo chính xác vô hạn để cho thấy rằng bạn thực sự có một thứ gì đó đo được bằng 0. Vì vậy, bạn chỉ có thể hiển thị nó thứ yếu bất cứ giá trị nào mà độ chính xác đo lường của bạn cho phép.
Vô cực và 0 có ở khắp mọi nơi trong vật lý. Ngay cả trong những thứ tỏ vẻ như vô hình như không gian, hoặc không-thời gian. Thời điểm bạn viết ra các tính toán không gian, bạn cho rằng không có khoảng trống nào trong đó. Bạn cho rằng đó là một khối liên tục trơn tru, được tạo thành từ vô tỷ số nhỏ vô hạn.
Về mặt toán học, đó là một giả như thuận tiện vì nó rất dễ cho công việc. Và nó tỏ vẻ như có tác dụng tốt. Đó là lí do tại sao đa số các nhà vật lý không lo lắng nhiều về vô cực. Họ chỉ áp dụng vô cực như một dụng cụ toán học hữu ích.
Nhưng có thể việc áp dụng vô cực và 0 trong vật lý sẽ mang lại những sai lầm vì những giả như này không những không được minh chứng về mặt khoa học mà còn không thể minh chứng về mặt khoa học. Và điều này có thể đóng một vai trò trong cách hiểu biết của chúng ta về vũ trụ hoặc cơ học lượng tử. Đây là lí do tại sao một địa chỉ vật lý, như George Ellis, Tim Palmer và Nicolas Gisin đã tranh luận rằng chúng ta nên xây dựng công thức vật lý mà không áp dụng số vô hạn hoặc số 9h xác vô hạn.