Bài viết này đề cập tới các khái niệm hạng ma trận bậc thang, ma trận bậc thang rút gọn và hạng của ma trận.
Ma trận bậc thang (Echelon form)
Để giải một hệ phương trình tuyến tính \(Ax = b\), ta thường sử dụng phép khử lên từng hàng trong ma trận \(A\) để đưa hệ phương trình về dạng có thể giải bằng cách sử dụng phương pháp thế.
Cho một ví dụ như sau, giả sử:
\[\begin{align*}
&\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\\
\Leftrightarrow &
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 &&= 3\\
x_1 + 3x_2 &&= 4
\end{cases} \\
\end{align*}\]
\[\begin{align*} &\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x_1 + 2x_2 &&= 3\\ x_1 + 3x_2 &&= 4 \end{cases} \\ \end{align*}\]
Giải trực tiếp hệ bên trên sẽ khá khó khăn, nên ta sẽ biến đổi \(A\) một chút về dạng như sau:
\[\begin{align*}
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
= U
\end{align*}\]
\[\begin{align*} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = U \end{align*}\]
Bằng cách lấy hàng 2 trừ đi hàng 1, lúc này hệ phương trình trở thành:
\[\begin{align*}
&\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\\
\Leftrightarrow &
\begin{cases}
x_1 + &2x_2 &= 3\\
&x_2 &= 1
\end{cases} \\
\end{align*}\]
\[\begin{align*} &\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x_1 + &2x_2 &= 3\\ &x_2 &= 1 \end{cases} \\ \end{align*}\]
Ta dễ dàng suy ra \(x_2 = 1\) và \(x_1 = 1\).
Dạng ma trận \(U\) được gọi là ma trận bậc thang (echelon form).
Một ma trận là dạng Echelon nếu thoả 2 điều kiện:
Hoặc không có dòng 0 (dòng mà các phần tử đều khác 0) hoặc dòng 0 của ma trận nằm dưới các dòng khác 0
Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải phần tử cơ sở của hàng trên
Phần tử cơ sở là phần tử đầu tiên khác 0 của một hàng trong ma trận.
Xét trong ma trận \(U\) ta thấy nó thoả cả 2 điều kiện trên. Do đó \(U\) là một ma trận bậc thang.
Một ví dụ khác: cho \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}\).
\(A\) là ma trận không vuông và là hệ phụ thuộc tuyến tính (do cột 2 của \(A\) là một tổ hợp tuyến tính của cột 1).
Đầu tiên vẫn là thực hiện phép khử lên hàng thứ 2:
\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}\]
\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}\]
Tiếp tục khử hàng cuối cùng, ta có:
\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
= U\]
Hạng của ma trận
\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = U\]
Một cách ngắn gọn, hạng (rank) của ma trận là số phần tử cơ sở có trong ma trận đó.
Như trong cả 2 ví dụ trên, vì \(U\) có 2 phần tử cơ sở nên ta có \(rank(U) = 2\).