Infinity , khái niệm về một thứ gì đó không giới hạn, vô tận, không có sự ràng buộc. Biểu tượng chung cho vô cực, ∞, được phát minh bởi nhà toán học người Anh John Wallis vào năm 1655. Có thể phân biệt ba loại vô cực chính: toán học, vật lý và siêu hình . Ví dụ, các số vô hạn trong toán học xảy ra dưới dạng số điểm trên một đường liên tục hoặc kích thước của chuỗi số đếm vô tận: 1, 2, 3,…. Khái niệm không gian và thời gian về sự vô hạn xuất hiện trong vật lý khi người ta hỏi liệu có vô hạn các ngôi sao hay vũ trụ sẽ tồn tại vĩnh viễn. Trong một cuộc thảo luận siêu hình về Thượng đế hay Đấng tuyệt đối, có những câu hỏi về việc liệu một thực thể tối thượng có phải là vô hạn hay không và liệu những thứ nhỏ hơn cũng có thể là vô hạn.
Các số nguyên trong toán học
Người Hy Lạp cổ đại thể hiện sự vô hạn bằng từ apeiron , có nghĩa là không bị ràng buộc, vô thời hạn, không xác định và vô hình. Một trong những sự xuất hiện sớm nhất của vô cực trong toán học liên quan đến tỷ số giữa đường chéo và cạnh của hình vuông.Pythagoras (c. 580-500 TCN ) và những người theo ông ban đầu tin rằng bất kỳ khía cạnh của thế giới có thể được thể hiện bằng một sự sắp xếp liên quan đến chỉ số nguyên (0, 1, 2, 3, …), nhưng họ đã rất ngạc nhiên phát hiện ra rằng đường chéo và cạnh của hình vuông làkhông thể dùng được — nghĩa là, độ dài của chúng không thể được biểu thị dưới dạng bội số nguyên của bất kỳ đơn vị dùng chung nào (hoặc que đo). Trong toán học hiện đại, khám phá này được thể hiện bằng cách nói rằng tỷ lệ là vô tỷ và nó là giới hạn của một chuỗi số thập phân vô tận, không tăng dần. Trong trường hợp hình vuông có độ dài các cạnh là 1, đường chéo là Căn bậc hai của √ 2 , được viết là 1,414213562…, trong đó dấu chấm lửng (…) cho biết một dãy vô tận các chữ số không có mẫu.
Cả hai Plato (428 / 427-348 / 347 TCN ) vàAristotle (384–322 bce ) chia sẻ sự ghê tởm nói chung của người Hy Lạp về khái niệm vô hạn. Aristotle đã ảnh hưởng đến tư tưởng sau này trong hơn một thiên niên kỷ với việc bác bỏ tính vô hạn “thực tế” (không gian, thời gian hoặc số), mà ông phân biệt với sự vô hạn “tiềm năng” của khả năng đếm không ngừng. Để tránh việc sử dụng vô cùng thực tế, Eudoxus của Cnidus (c. 400-350 TCN ) và Archimedes (c. 285-212 / 211 TCN ) đã phát triển một kỹ thuật, sau này được gọi làphương pháp cạn kiệt , theo đó một diện tích được tính bằng cách giảm một nửa đơn vị đo ở các giai đoạn liên tiếp cho đến khi diện tích còn lại thấp hơn một giá trị cố định nào đó (vùng còn lại đã bị “cạn kiệt”).
Vấn đề về số lượng vô hạn nhỏ dẫn đến việc phát hiện ra giải tích vào cuối những năm 1600 của nhà toán học người Anh Isaac Newton và nhà toán học người Đức Gottfried Wilhelm Leibniz . Newton đã đưa ra lý thuyết của riêng mình về các số nhỏ vô hạn, hoặcinfinitesimals , để biện minh cho việc tính toán các đạo hàm hoặc độ dốc. Để tìm độ dốc (nghĩa là sự thay đổi của y so với sự thay đổi của x ) cho một đường thẳng chạm vào một đường cong tại một điểm đã cho ( x , y ), anh ấy thấy hữu ích khi xem xét tỷ số giữa d y và d x , nơi d y là một vô cùng thay đổi trong y được sản xuất bằng cách di chuyển một số lượng vô cùng nhỏ d x từ x. Infinitesimals bị chỉ trích nặng nề, và phần lớn lịch sử ban đầu của phân tích xoay quanh những nỗ lực tìm kiếm một nền tảng thay thế, chặt chẽ cho chủ đề này. Việc sử dụng các số vô cực cuối cùng đã có được một chỗ đứng vững chắc với sự phát triển của phép phân tích không chuẩn của nhà toán học người ĐứcAbraham Robinson vào những năm 1960.
Nhận quyền truy cập độc quyền vào nội dung từ Ấn bản đầu tiên năm 1768 của chúng tôi với đăng ký của bạn.
Đăng ký ngay hôm nay
Việc sử dụng trực tiếp hơn tính vô hạn trong toán học phát sinh với nỗ lực so sánh kích thước của tập hợp vô hạn , chẳng hạn nhưtập hợp các điểm trên một đoạn thẳng ( số thực ) hoặc tập hợp các số đếm. Các nhà toán học nhanh chóng bị ấn tượng bởi thực tế rằng trực giác thông thường về các con số là sai lệch khi nói về kích thước vô hạn. Các nhà tư tưởng thời Trung cổ nhận thức được một thực tế nghịch lý là các đoạn thẳng có độ dài khác nhau dường như có cùng số điểm. Ví dụ, vẽ hai đường tròn đồng tâm, một đường tròn có bán kính gấp đôi (và do đó gấp đôi chu vi) của đường tròn kia, như thể hiện trong hình . Đáng ngạc nhiên, mỗi điểm P trên đường tròn bên ngoài có thể được ghép nối với một điểm P ′ duy nhất trên đường tròn bên trong bằng cách vẽ một đường thẳng từ tâm O chung của chúng đến Pvà ghi nhãn giao điểm của nó với đường tròn nội tiếp P ′. Trực giác gợi ý rằng vòng tròn bên ngoài phải có số điểm gấp đôi vòng tròn bên trong, nhưng trong trường hợp này, vô cực dường như bằng hai lần vô cực. Vào đầu những năm 1600, nhà khoa học người ÝGalileo Galilei đã giải quyết vấn đề này và một kết quả không trực quan tương tự bây giờ được gọi là nghịch lý của Galileo . Galileo đã chứng minh rằng tập hợp các số đếm có thể được đặt trong sự tương ứng 1-1 với tập hình vuông nhỏ hơn nhiều của chúng. Tương tự, ông đã chỉ ra rằng tập hợp các số đếm và số đôi của chúng (tức là tập hợp các số chẵn) có thể được ghép nối với nhau. Galileo kết luận rằng “chúng ta không thể nói đại lượng vô hạn là đại lượng lớn hơn hoặc nhỏ hơn hoặc bằng đại lượng khác”. Những ví dụ như vậy đã khiến nhà toán học người Đức Richard Dedekind vào năm 1872 đề xuất một định nghĩa về một tập hợp vô hạn như một tập hợp có thể được đặt trong mối quan hệ một-một với một số tập hợp con thích hợp.
vòng tròn đồng tâm và vô cực
Các đường tròn đồng tâm chứng minh rằng hai lần vô cực cũng giống như vô cực.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Sự nhầm lẫn về số vô hạn đã được giải quyết bởi nhà toán học người Đức Georg Cantor bắt đầu từ năm 1873. Cantor đầu tiên đã chứng minh một cách chặt chẽ rằng tập hợp các số hữu tỉ (phân số) có cùng kích thước với các số đếm; do đó, chúng được gọi là có thể đếm được, hoặc có thể phủ nhận. Tất nhiên đây không phải là một cú sốc thực sự, nhưng cuối cùng năm đó, Cantor đã chứng minh một kết quả đáng ngạc nhiên rằng không phải tất cả các số vô hạn đều bằng nhau. Sử dụng cái gọi là “đối số đường chéo”, Cantor đã chỉ ra rằng kích thước của các số đếm nhỏ hơn kích thước của các số thực. Kết quả này được gọi làĐịnh lý Cantor .
Để so sánh các tập hợp, Cantor trước tiên phân biệt giữa một tập hợp cụ thể và khái niệm trừu tượng về kích thước của nó, hoặc cardinality. Unlike a finite set, an infinite set can have the same cardinality as a proper subset of itself. Cantor used a diagonal argument to show that the cardinality of any set must be less than the cardinality of its power set—i.e., the set that contains all the given set’s possible subsets. In general, a set with n elements has a power set with 2n elements, and these two cardinalities are different even when n is infinite. Cantor called the sizes of his infinite sets “transfinite cardinals.” His arguments showed that there are transfinite cardinals of endlessly many different sizes (such as the cardinals of the set of counting numbers and the set of real numbers).
The transfinite cardinals include aleph-null (the size of the set of whole numbers), aleph-one (the next larger infinity), and the continuum (the size of real numbers). These three numbers are also written as ℵ0, ℵ1, and c, respectively. By definition ℵ0 is less than ℵ1, and by Cantor’s theorem ℵ1 is less than or equal to c. Along with a principle known as the axiom of choice, the proof method of Cantor’s theorem can be used to ensure an endless sequence of transfinite cardinals continuing past ℵ1 to such numbers as ℵ2 and ℵℵ0.
The continuum problem is the question of which of the alephs is equal to the continuum cardinality. Cantor conjectured that c = ℵ1; this is known as Cantor’s continuum hypothesis (CH). CH can also be thought of as stating that any set of points on the line either must be countable (of size less than or equal to ℵ0) or must have a size as large as the entire space (be of size c).
In the early 1900s a thorough theory of infinite sets was developed. This theory is known as ZFC, which stands for Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel với tiên đề về sự lựa chọn. CH được biết là không thể quyết định trên cơ sở các tiên đề trong ZFC. Năm 1940, nhà logic học người Áo Kurt Gödel đã có thể chứng minh rằng ZFC không thể bác bỏ CH, và vào năm 1963, nhà toán học người Mỹ Paul Cohen đã chỉ ra rằng ZFC không thể chứng minh CH. Các nhà lý thuyết tập hợp tiếp tục khám phá các cách mở rộng tiên đề ZFC một cách hợp lý để giải quyết CH. Nghiên cứu gần đây cho thấy CH có thể sai và kích thước thực của c có thể lớn hơn vô cực ℵ 2 .